[Python]モンテカルロ法で円周率を近似してみる

Python
Nishipy
Python歴2ヶ月位の私が、とあるきっかけで、モンテカルロ法を思い出しました。
懐かしいのでPythonで実装してみて、円周率(π)を近似してみます。図を描く練習にもなりました。

1. きっかけ

Pythonを勉強するにあたって、以下のような記事を目にしました。
GCIデータサイエンティスト育成講座の演習問題を解く Chapter2

学生時代に、そういえば習ったなあと思い、最近学習しているPythonで実装してみました。

[超初心者向け]とあるITサービス開発者の無料Python勉強法
Nishipy最近Pythonで機械学習の勉強をしています。私自身初心者ですが、やってよかった無料のPython勉強方法を共有します!1. Pythonとは?Pythonとは、プログラミング言語の1つです。プログラミン...

2. モンテカルロ法とは

まずは、モンテカルロ法の説明です。

モンテカルロ法 (モンテカルロほう、英: Monte Carlo method, MC) とはシミュレーションや数値計算を乱数を用いて行う手法の総称。元々は、中性子が物質中を動き回る様子を探るためにスタニスワフ・ウラムが考案しジョン・フォン・ノイマンにより命名された手法。カジノで有名な国家モナコ公国の4つの地区(カルティ)の1つであるモンテカルロから名付けられた。ランダム法とも呼ばれる。… [Wikipedia]

これだと、乱数を用いたシミュレーションだということしかわかりません。
しかし、それ以上でもそれ以下でもありません。

詳しく知りたい方は以下を参照ください。わかりやすいと思います。
モンテカルロ法,乱数,および疑似乱数 杉田洋

3. モンテカルロ法による円周率(π)の近似

では、実際にモンテカルロ法でπを近似してみます。

0以上1以下の擬似乱数の組を生成します。それらを座標と見立てて平面にプロットしたとき、半径1の円の第一象限部分(扇形)の中に入る割合を求めていきます。

自分でも何言ってるかわからなくなってきたので、図をたくさん描いていきます。

3.1. 擬似乱数の生成

擬似乱数の生成にはnumpyを使います。
numpy.random.randを使えば、0以上1以下の一様乱数を生成できます。

これで、1万個の点ができました。念の為、( x)と( y)の値についてヒストグラムを書いてみます。
上が( x)1で、下が( y)についてです。概ね、0以上1以下の範囲に一様に分布しています。

3.2. 扇形を図示してみる

問題となる扇形を以下に描きます。
描画には、matplotlibを使っていきます。
この図形の面積(青い部分)は、( π/4)であることに注意しましょう。

一方で、点(( x, y))が取りうる範囲は、1辺の長さが1の正方形ですので、
その面積は1となることにも注意します。

3.3. 扇形内の点と扇形外の点の数

点(( x, y))のうち、扇形の中にある点の個数を(n_{in})とします。
扇形の外にある点の個数は(n_{out})です。

格好いいコードがかけないので、単純に数え上げます。
扇形に入っているかどうかは、単純に原点とのユークリッド距離が1より小さいかどうかで判断します。

3.4. ランダムな点を図示してみる

それぞれの個数はわかりましたが、僕の脳ではちょっとイメージしづらいので、
プロットしてみます。


やっぱよくわかんないけど、満遍なくプロットされている気はします。

3.5. 円周率\(π\)を近似する

これまでの結果から、以下の式が成り立ちます。
$$π/4 : 1 \simeq n_{in} : n_{in} + n_{out}$$

従って、次のコードにより、円周率(π)の近似ができます。


たかだか1万個の点でシミュレートしていますが、それなりに近い数字がでました。

点の数を10万個に増やしたときの結果も載せておきます。より3.14…に近い数字になっています。


4. やってみた感想

matplotlibでお絵描きするのが、とにかく楽しい!!!

以上

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